Question

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点M(

2

，1)，且左焦点为F1(-

2

，0)
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当过点P（4，1）的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

QB

|=|

AQ

|•|

PB

|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过椭圆焦点坐标知c=

2

，且有a²=b²+c²，又点M的坐标满足椭圆方程，则列方程组解之即可；
（Ⅱ）欲证点Q总在某定直线上，所以先设点Q的坐标为变量（x，y），点A、B的坐标分别为参数（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根据已知条件可变形得

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，设其比值为λ则有

AP

=-λ

PB

、

AQ

=λ

QB

，此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系，同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关系，又因为点A、B的坐标满足椭圆方程，则有x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，再利用已得关系式构造x₁²+2y₁²与x₂²+2y₂²则可整体替换为4，同时消去参数λ，最后得到变量x、y的关系式，则问题得证．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

c2=2 2 a2 + 1 b2 =1 c2=a2-b2

，
解得a²=4，b²=2，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

（Ⅱ）设点Q、A、B的坐标分别为（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由题设知|

AP

|，|

PB

|，|

AQ

|，|

QB

|均不为零，记λ=

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

，则λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四点共线，从而

AP

=-λ

PB

，

AQ

=λ

QB

于是4=

x1-λx2

1-λ

，1=

y1-λy2

1-λ

，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

从而

x 2 1 -λ2 x 2 2

1-λ2

=4x①，

y 2 1 -λ2 y 2 2

1-λ2

=y②，
又点A、B在椭圆C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并结合③、④得4x+2y=4，
即点Q（x，y）总在定直线2x+y-2=0上．

点评：本题综合考查椭圆性质与定比分点定理，同时考查构造消元处理方程组的能力．