【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
(1)求的取值范围;
(2)设两极值点分别为,,且,证明:.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)对函数进行求导,根据题意可知方程在上有两个不同的实数根,可以转化为两个函数图象的交点的个数问题,构造新函数,对新函数进行求导,判断其单调性及极值进行求解即可;
(2)要证成立,只需证成立,结合(1),即证成立,利用换元法,构造新函数,对新函数进行求导,根据新函数的单调性进行证明即可.
(1)∵函数的定义域为,
∴方程在上有两个不同的实数根,
即函数与的图象在上有两个不同的交点.
又∵,∴当时,;当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
∴极大值.
又∵有且只有一个零点1,且当时,;当时,.
∴要想函数与函数的图象在上有两个不同的交点,只需.
(2)∵要证成立,∴只需证成立,
∵由(1)知,是方程的两个根,即,,
∴,
∵,∴,
又∵,,作差得,即,
∴,∴当时,要证成立,
即证成立,令,,
即证在上恒成立,
令,∴,
∴当时,,∴函数在上单调递增,
又∵,∴,在上恒成立,
∴原不等式成立,即当时,成立.
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