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【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

1)求的取值范围;

2)设两极值点分别为,且,证明:

【答案】1;(2)证明见解析.

【解析】

1)对函数进行求导,根据题意可知方程上有两个不同的实数根,可以转化为两个函数图象的交点的个数问题,构造新函数,对新函数进行求导,判断其单调性及极值进行求解即可;

2)要证成立,只需证成立,结合(1),即证成立,利用换元法,构造新函数,对新函数进行求导,根据新函数的单调性进行证明即可.

1)∵函数的定义域为

∴方程上有两个不同的实数根,

即函数的图象在上有两个不同的交点.

又∵,∴当时,;当时,

故函数上单调递增,在上单调递减,

极大值

又∵有且只有一个零点1,且当时,;当时,

∴要想函数与函数的图象在上有两个不同的交点,只需

2)∵要证成立,∴只需证成立,

∵由(1)知是方程的两个根,即

,∴

又∵,作差得,即

,∴当时,要证成立,

即证成立,令

即证上恒成立,

,∴

∴当时,,∴函数上单调递增,

又∵,∴,在上恒成立,

∴原不等式成立,即当时,成立.

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