Question

6．若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间[a，b]⊆D，使得当x∈[a，b]时，函数f（x）的值域恰好为[a，b]，则称函数f（x）为D上的“正函数”，区间[a，b]为函数f（x）的“正区间”．
（1）试判断函数f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4是否为“正函数”？若是“正函数”，求函数f（x）的“正区间”；若不是“正函数”，请说明理由；
（2）设命题p：f（x）=$\sqrt{x-\frac{8}{9}}$+m是“正函数”；命题q：g（x）=x²-m（x＜0）是“正函数”．若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，通过讨论[a，b]的范围，得到关于a，b的不等式组，解出即可；
（2）先求出p，q为真时的m的范围，从而求出p∧q是真命题时的m的范围即可．

解答 解：（1）假设f（x）是“正函数”，其“正区间”为[a，b]，
该二次函数开口向上，对称轴为x=2，最小值为f（x）_min=1，
所以可分3种情况：
①当对称轴x=2在区间[a，b]的左侧时，函数在区间[a，b]上单调递增，
所以此时$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{a＜b}\\{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=4或\frac{4}{3}}\end{array}\right.（舍）$；
②当对称轴x=2在区间[a，b]的右侧时，
函数在区间[a，b]上单调递减，
所以此时$\left\{\begin{array}{l}{b≤2}\\{a＜b}\\{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{\\;b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.（舍）$；
③当对称轴x=2在区间[a，b]内时，函数在区间[a，2]上单调递减，在区间（2，b]上单调递增，
所以此时a＜2＜b，函数在区间[a，b]内的最小1值为1，也是值域的最小值a，所以a=1，
同时可知函数值域的最大值一定大于2．
通过计算可知f（a）=f（1）=f（3）=$\frac{7}{4}$＜2，
所以可知函数在x=b时取得最大值b，即f（b）=b．所以b=4．
通过验证可知，函数f（x）=$\frac{3}{4}$x²-3x+4在区间[1，4]内的值域为[1，4]．
综上可知：f（x）是“正函数”，其“正区间”为[1，4]．-----（5分）
（2）若P真，则由函数f（x）在（-∞，$\frac{8}{9}$]上单调递增得f（x）=x在（-∞，$\frac{8}{9}$]上有两个不同实根，
即m=x-$\sqrt{x-\frac{8}{9}}$，通过换元和结合函数的图象可得m∈（$\frac{23}{36}$，$\frac{8}{9}$]-------（8分）
若q真，f（x）在（-∞，0）上单减，故a＜b＜0时有$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=b}\\{f（b）=a}\end{array}\right.$，
两式相减得：a+b=-1，由a＜b＜0得：a∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
从而a²+a-m+1=0在a∈（-1，-$\frac{1}{2}$）是有解，
从而m∈（$\frac{3}{4}$，1）-------（11分），
所以p∧q是真命题时：m∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{8}{9}$]----（12分）

点评 本题考查了新定义问题，考查分类讨论思想，复合命题的判断，是一道中档题．