Question

已知函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），令a_n=

1

f(n+1)+f(n)

，n∈N^*，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅=（　　）

• A、

  2013

  -1
• B、

  2014

  -1
• C、

  2015

  -1
• D、

  2016

  -1

Answer 1

考点：数列的求和

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：首先根据函数的图象经过已知点，求出函数的解析式，进一步利用函数的解析式求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．

解答： 解：函数f（x）=x^a的图象过点（4，2），
则：4^a=2，
解得：a=

1

2

，
所以：f（x）=x

1

2

，
则：an=

1

f(n+1)+f(n)

，
=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

则：S_n=a₁+a₂+…+a_n
=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1，
则：S2015=

2015+1

-1=

2016

-1，
故选：D．

点评：本题考查的知识要点：函数解析式的求法，利用裂项相消法求数列的和．属于基础题型．