Question

如图所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中点．
（I）求证：ED⊥AC；
（Ⅱ）若直线BE与平面ABCD成45°角，求异面直线GE与AC所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，从而有ED⊥AC．
（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直线BE与平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角
然后在△MAC中用余弦定理求解．
解答：（I）证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD
∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD
∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC（6分）

（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD
∴∠EBD是直线BE与平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）
设
取DE中点M，连接AM
∵G是AF的中点∴AM∥GE
∴∠MAC是异面直线GE与AC所成角或其补角（10分）
连接BD交AC于点O
∵，O是AC的中点
∴MO⊥AC
∴
∴异面直线GE与AC所成角的余弦值为．（12分）
点评：本题主要考查线线垂直，线面垂直，面面垂直间的转化以及异面直线所成的角的求法．