Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90^o，AC=1，CB=

2

，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）如图，连接CA₁、AC₁、CM，要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD垂直平面BDM内两条相交直线A₁B、DM即可；
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B₁G、FG、B₁F，说明∠B₁GF
是所求二面角的平面角，然后解三角形，求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0即得证，
（Ⅱ）求出面B₁BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．

解答：解：法一：（I）如图，连接CA₁、AC₁、CM，则CA₁=

2

，
∵CB=CA₁=

2

，∴△CBA₁为等腰三角形，
又知D为其底边A₁B的中点，∴CD⊥A₁B，
∵A₁C₁=1，C₁B₁=

2

，∴A₁B₁=

3

，
又BB₁=1，∴A₁B=2，
∵△A₁CB为直角三角形，D为A₁B的中点，CD=

1

2

A₁B=1，CD=CC₁．
又DM=

1

2

AC₁=

2

2

，DM=C₁M，∴△CDN≌△CC₁M，∠CDM=∠CC₁M=90°，即CD⊥DM，
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM．

（II）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B₁G、FG、B₁F，
则FG∥CD，FG=

1

2

CD．∴FG=

1

2

，FG⊥BD．
由侧面矩形BB₁A₁A的对角线的交点为D，知BD=B₁D=

1

2

A₁B=1，
所以△BB₁D是边长为1的正三角形，于是B₁G⊥BD，B₁G=

3

2

，
∴∠B₁GF是所求二面角的平面角．
又B₁F²=B₁B²+BF²=1+（

2

2

）²=

3

2

．
∴cos∠B₁GF=

B1G2+FG2-B1F2

2B1G•FG

=

( 3 2 )2+( 1 2 )2- 3 2

2• 3 2 • 1 2

=-

3

3

．
即所求二面角的大小为π-arccos

3

3

．

法二：如图以C为原点建立坐标系．
（I）B（

2

，0，0），B₁（

2

，1，0），A₁（0，1，1），D（

2

2

，

1

2

，

1

2

），
M（

2

2

，1，0），

CD

=（

2

2

，

1

2

，

1

2

），

A1B

=（

2

，-1，-1），

DM

=（0，

1

2

，-

1

2

），

CD

•

A1B

=0，

CD

•

DM

=0，
∴CD⊥A₁B，CD⊥DM．
因为A₁B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．

（II）设BD中点为G，连接B₁G，
则G(

3 2

4

，

1

4

，

1

4

)，

BD

=（-

2

2

，

1

2

，

1

2

），

B1G

=(-

2

4

，-

3

4

，

1

4

)，
∴

BD

•

B1G

=0，∴BD⊥B₁G，
又CD⊥BD，∴

CD

与

B1G

的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cosθ=

CD • B1G

| CD |•| B1G |

=-

3

3

.
所以所求二面角的大小为π-arccos

3

3

．

点评：本题考查直线与平面的垂直判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．