Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0（a＞0），命题q：实数x满足

x-3

x-2

＜0，
（1）若a=1，且p且q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（1）当a=1，p且q为真时，则p，q同时为真，建立条件即可求实数x的取值范围；
（2）利用?p是?q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1时，由x²-4x+3＜0得1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由

x-3

x-2

＜0得2＜x＜3
q：2＜x＜3，
∵p且q为真，
∴p，q同时为真，即x满足

2＜x＜3 1＜x＜3

，
即2＜x＜3．
（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件知，
∴q是p的充分不必要条件，
由p知，即A={x|a＜x＜3a，a＞0}，
由q知，B={x|2＜x＜3}
∴B?A，
∴

a≤2 3a≥3

，
即

a≥1 a≤2

，
1≤a≤2
即实数a的取值范围是[1，2]．

点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用复合命题之间的关系是解决本题的关键．