Question

16．已知点C的坐标为（1，0），A，B是抛物线y²=x上不同于原点O的相异的两个动点，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$．
（1）求证：点A，C，B共线；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{QB}（{λ∈R}）$，当$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$时，求动点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用向量方法，证明$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{BC}$，即可证明点A，C，B共线；
（2）若$\overrightarrow{AQ}=λ\overrightarrow{QB}（{λ∈R}）$，当$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{AB}=0$时，$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{CQ}=0$，即可求动点Q的轨迹方程．

解答 （1）证明：设$A（{t_1^2，{t_1}}），B（{t_2^2，{t_2}}），（{{t_1}≠{t_2}，{t_1}≠0，{t_2}≠0}）$，则$\overrightarrow{OA}=（{t_1^2，{t_1}}），\overrightarrow{OB}（{t_2^2，{t_2}}）$，
因为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴$t_1^2t_2^2+{t_1}{t_2}=0$，又t₂≠0，t₁≠0，∴t₁t₂=-1，
因为$\overrightarrow{AC}=（{1-t_1^2，-{t_1}}），\overrightarrow{BC}=（{1-t_2^2，-{t_2}}）$，
且${t_1}（{1-t_1^2}）-{t_2}（{1-t_2^2}）=（{{t_1}-{t_2}}）-{t_1}t_1^2+{t_2}t_2^2=（{{t_1}-{t_2}}）（{1+{t_1}{t_2}}）=0$，
所以$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{BC}$，
又AC，CB都过点C，所以三点A，B，C共线．
（2）解：由题意知，点Q是直角三角形AOB斜边上的垂足，又定点C在直线AB上，∠CQO=90°，
所以设动点Q（x，y），则$\overrightarrow{OQ}=（{x，y}），\overrightarrow{CQ}=（{x-1，y}）$，
又$\overrightarrow{OQ}•\overrightarrow{CQ}=0$，所以x（x-1）+y²=0，即${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}（{x≠0}）$，
动点Q的轨迹方程为${（{x-\frac{1}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{1}{4}（{x≠0}）$．

点评 本题考查轨迹方程，考查三点共线的证明，考查向量知识的运用，属于中档题．