Question

已知a∈R，函数f(x)=

a

x

+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x（其中e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值；
（2）是否存在实数x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵f(x)=

a

x

+lnx-1，
∴f′(x)=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

令f'（x）=0，得x=a．
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在区间（0，e]上单调递增，此时函数f（x）无最小值．
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减，
当x∈（a，e]时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增，
所以当x=a时，函数f（x）取得最小值lna
③若a≥e，则f'（x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减，
所以当x=e时，函数f（x）取得最小值

a

e

．
．综上可知，当a≤0时，函数f（x）在区间（0，e]上无最小值；
当0＜a＜e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为lna；
当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为

a

e

．
（2）∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，e]，
∴g'（x）=（lnx-1）^′e^x+（lnx-1）（e^x）^′+1=

ex

x

+(lnx-1)ex+1=(

1

x

+lnx-1)ex+1．
由（1）可知，当a=1时，f(x)=

1

x

+lnx-1．
此时f（x）在区间（0，e]上的最小值为ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0．（10分）
当x₀∈（0，e]，ex0＞0，

1

x0

+lnx0-1≥0，
∴g′(x0)=(

1

x0

+lnx0-1)ex0+1≥1＞0．
曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直等价于方程g'（x₀）=0有实数解．（13分）
而g'（x₀）＞0，即方程g'（x₀）=0无实数解．、故不存在x₀∈（0，e]，使曲线y=g（x）在点x=x₀处的切线与y轴垂直．