Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$且$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{0}$，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=5．设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ₁，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₂，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角为θ₃，则它们的大小关系是（　　）

• A． θ₁＜θ₂＜θ₃
• B． θ₁＜θ₃＜θ₂
• C． θ₂＜θ₃＜θ₁
• D． θ₃＜θ₂＜θ₁

Answer 1

分析 根据条件及$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$便有$\overrightarrow{a}=-（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$，两边平方便得9=16+40cosθ₂+25，从而得到cos${θ}_{2}=-\frac{4}{5}$，同样的办法可求得cos${θ}_{3}=-\frac{3}{5}$，cosθ₁=0，然后根据向量夹角的范围及余弦函数的单调性即可比较出θ₁，θ₂，θ₃的大小关系．

解答 解：由条件，$\overrightarrow{a}=-（\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}）$；
∴${\overrightarrow{a}}^{2}={\overrightarrow{b}}^{2}+2|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|cos{θ}_{2}$$+{\overrightarrow{c}}^{2}$；
∴9=16+40cosθ₂+25；
∴$co{sθ}_{2}=-\frac{4}{5}$；
同理由$\overrightarrow{b}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）$得16=9+30cosθ₃+25；
∴$cos{θ}_{3}=-\frac{3}{5}$；
由$\overrightarrow{c}=-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$得25=9+24cosθ₁+16；
∴cosθ₁=0；
∵θ₁，θ₂，θ₃∈[0，π]，0$＞-\frac{3}{5}＞-\frac{4}{5}$；
∴θ₁＜θ₃＜θ₂．
故选B．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，向量夹角的范围，以及余弦函数的单调性．