Question

【题目】已知A，B是椭圆C：)的左右顶点，P点为椭圆C上一点，点P关于x轴的对称点为H，且

（1）若椭圆C经过了圆的圆心，求椭圆C的标准方程；

（2）在（1）的条件下，抛物线D：的焦点F与点关于y轴上某点对称，且抛物线D与椭圆C在第四象限交于点Q，过点Q作直线与抛物线D有唯一公共点，求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）结合斜率公式及椭圆C经过了圆的圆心，求出，即可得解；

（2）联立抛物线方程及椭圆方程求出交点坐标，然后设直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，结合，解得，再分别求出横、纵截距，再求三角形面积即可.

解：（1）设，因为，，

则点关于轴的对称点，

则，，

因为，

所以，

所以，

又椭圆过圆的圆心，

所以，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意，抛物线焦点为，

故其方程为，

联立方程组，解得或（舍去），

所以，

据题意，过点的直线，斜率存在且不为，

设直线方程为，

联立方程组，

整理得，

由，解之得，

所以直线方程为.

即是.

令，得；

令，得.

故所求三角形的面积为.