Question

如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥底面ABCD，AD=1，CD=2，∠DCB=60°．
（Ⅰ） 求证：平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）若二面角D₁-BC-D的大小为45°，求直线CD与平面A₁BCD₁所成的角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在△ABD中，由余弦定理得BD²=AD²+AB²-2AD•ABcos60°=1+4-2=3，
∴AD²+DB²=AB²，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．
由四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴BC⊥BD．
∵D₁D⊥底面ABCD，∴DD₁⊥BC．
又BD∩DD₁=D，∴BC⊥平面BDD₁．好
∵BC?平面A₁BCD₁，∴平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：BC⊥平面BDD₁，∴∠D₁BD是二面角D₁-BC-D的平面角，
∴，∴．
取BD₁的中点M，连接DM、CM，则DM⊥BD₁，又平面A₁BCD₁⊥平面BDD₁；
∴DM⊥平面A₁BCD₁，∴∠DCM是直线CD与平面A₁BCD₁所成的角．
在Rt△DCM中，∵，CD=2，∴=．
∴直线CD与平面A₁BCD₁所成的角的正弦值是．
分析：（Ⅰ）利用余弦定理、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论、线面、面面垂直判定和性质、线面角、二面角的定义即可得出．
点评：熟练掌握余弦定理、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、线面、面面垂直的判定与性质定理、线面角、二面角的定义是解题的关键．