【题目】已知正项数列{an}的前n项和为Sn , 数列{an}满足,2Sn=an(an+1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{ }的前n项和为An , 求证:对任意正整数n,都有An<
成立;
(3)数列{bn}满足bn=( )nan , 它的前n项和为Tn , 若存在正整数n,使得不等式(﹣2)n﹣1λ<Tn+
﹣2n﹣1成立,求实数λ的取值范围.
【答案】
(1)解: ,当n≥2时,
,
两式相减得: ,所以(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣1)=0.
因为数列{an}为正项数列,故an+an﹣1≠0,也即an﹣an﹣1=1,
所以数列{an}为以1为首项1为公差的等差数列,故通项公式为an=n,n∈N*
(2)解:
=
,
所以对任意正整数n,都有 成立
(3)解:易知 ,则
,①,
,②
①﹣②可得: .
故 ,所以不等式
成立,
若n为偶数,则 ,所以
.
设 ,则y=﹣2t+t2+1=(t﹣1)2在
单调递减,
故当 时,
,所以
;
若n为奇数,则 ,所以
.
设 ,则y=2t﹣t2﹣1=﹣(t﹣1)2在(0,1]单调递增,
故当t=1时,ymax=0,所以λ<0.
综上所述,λ的取值范围λ<0或
【解析】(1)根据数列的递推公式即可求出数列{an}的通项公式,(2) =
<
=
﹣
,利用放缩法即可证明,(3)先利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和为Tn , 不等式(﹣2)n﹣1λ<Tn+
﹣2n﹣1成立,转化为
成立,分n为偶数和奇数,根据函数的性质即可求出实数λ的取值范围
【考点精析】掌握数列的前n项和和数列的通项公式是解答本题的根本,需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
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【题目】已知定义在R的奇函数满足
,且
时,
,下面四种说法①
;②函数
在[-6,-2]上是增函数;③函数
关于直线
对称;④若
,则关于
的方程
在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号__________。
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,
已知某圆的极坐标方程为: .
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若点
在该圆上,求
的最大值和最小值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知点,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点
的极坐标为
,直线
的极坐标方程为
,且
过点
;过点
与直线
平行的直线为
,
与曲线
相交于两点
.
(1)求曲线上的点到直线
距离的最小值;
(2)求的值.
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【题目】如图所示,在中,
的中点为
,且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为
轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
:
,曲线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线,
的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线:
(
为参数,
,
)分别交
,
于
,
两点,当
取何值时,
取得最大值.
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