Question

在△ABC中，已知

AB

•

AC

=9．sinB=cosAsinC，面积S_△ABC=6，
（1）求△ABC的三边的长；
（2）设P是△ABC（含边界）内的一点，P到三边AC、BC、AB的距离分别是x、y、z．
①写出x、y、z．所满足的等量关系；
②利用线性规划相关知识求出x+y+z的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设△ABC中的三边分别为a、b、c，由三角形内角和化简sinB=cosAsinC，算出C=

π

2

．由此化简

AB

•

AC

=9，得到b²=9，解出b=3，代入三角形面积公式算出a=4，最后由勾股定理即可算出c的长；
（2）①由三角形面积公式将△ABC的面积分为三块计算，化简得3x+4y+5z=12，即为x、y、z．所满足的等量关系；
②由①化简出x+y+z=

12

5

+

1

5

(2x+y)，设目标函数t=2x+y，并根据不等式画出如图可行域，利用直线平移法解出0≤t≤8，从而可得x+y+z的取值范围．

解答：解：（1）设△ABC中角ABC所对边分别为a、b、c
由sinB=cosAsinC，得sin（A+C）=cosAsinC
∴sinAcosC=0，可得C=

π

2

又∵

AB

•

AC

=9，得bccosA=9
∴结合ccosA=b，有b²=9，可得b=3．
∵S△ABC=

1

2

a•b=6，∴a=4
结合c²=a²+b²得c=5
即△ABC的三边长a=4，b=3，c=5…（4分）
（2）①S_△PAC+S_△PBC+S_△PAB=S_△ABC，可得

1

2

•3x+

1

2

•4y+

1

2

•5z=6，故3x+4y+5z=12…（8分）
②x+y+z=x+y+

1

5

(12-3x-4y)=

12

5

+

1

5

(2x+y)
令t=2x+y依题意有

x≥0 y≥0 3x+4y≤12

…（10分）
画出可行域如图
可知当x=0，y=0时t_min=0
当x=4，y=0时，t_max=8，即0≤t≤8
故x+y+z=

12

5

+

1

5

t的取值范围为[

12

5

，4]…（13分）

点评：本题着重考查了向量的数量积、三角形的面积公式、勾股定理的知识，考查了简单的线性规则的知识，属于中档题．请同学们注意解题过程中转化化归、数形结合和方程思想的运用．