Question

3．设数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1-a_n=3•4ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=2、a_n+1-a_n=3•4ⁿ（n∈N^*），累加即得结论；
（2）通过（1）可得b_n=n（4ⁿ-2），利用错位相减法计算出T_n=1×4+2×4²+3×4³+…+n•4ⁿ，通过S_n=T_n-2（1+2+…+n）计算即得结论．

解答 解：（1）由题意，得：
a₂-a₁=3×4，
a₃-a₂=3×4²，
a₄-a₃=3×4³，
…
a_n-a_n-1=3•4^n-1（n≥2），
以上n-1个式子相加，得：
a_n-a₁=3（4+4²+4³+…+4^n-1）
=3×$\frac{4（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$=4ⁿ-4，
∴a_n=a₁+4ⁿ-4=4ⁿ-2．
又a₁=2满足上式，
∴a_n=4ⁿ-2；
（2）b_n=na_n=n（4ⁿ-2），
S_n=1×4+2×4²+3×4³+…+n•4ⁿ-2（1+2+…+n），
设T_n=1×4+2×4²+3×4³+…+n•4ⁿ，
∴4T_n=1×4²+2×4³+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹，
∴-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{4-{4}^{n+1}}{9}$+$\frac{n•{4}^{n+1}}{3}$=$\frac{1}{9}$[（3n-1）•4ⁿ⁺¹+4]，
∴S_n=$\frac{1}{9}$[（3n-1）•4ⁿ⁺¹+4]-n（n+1）．

点评 本题考查求数列的通项及求和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．