Question

9．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$且a₁₀=$\frac{1}{3}$，则{a_n}的前99项和为-$\frac{193}{6}$．

Answer 1

分析 利用数列的递推关系式，求出数列的周期，然后求解一个周期内的和，即可求解{a_n}的前99项和．

解答 截：数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}+1}$且a₁₀=$\frac{1}{3}$，
可得a₁₁=-$\frac{1}{2}$，a₁₂=-3，a₁₃=2，a₁₄=$\frac{1}{3}$，
可得：a₁=2，a₂=$\frac{1}{3}$，a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=-3，a₅=2，a₆=$\frac{1}{3}$，a₇=-$\frac{1}{2}$，a₈=-3，a₉=2，a₁₀=$\frac{1}{3}$，
数列的周期为：4．
一个周期数列的和为：S=$\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-3+2$=-$\frac{7}{6}$．
则{a_n}的前99项和：25S-3=-$\frac{193}{6}$．
故答案为：-$\frac{193}{6}$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．