Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量$\overrightarrow{p}$=（a，2b-c），$\overrightarrow{q}$=（cosA，cosC），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$
（1）求角A的大小；
（2）设f（x）=cos（ωx-$\frac{A}{2}$）+sinωx（ω＞0）且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$，可得acosC=（2b-c）cosA，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得：sinB=2sinBcosA，结合sinB≠0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，根据范围A∈（0，π），即可求A的值．
（2）由（1）及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（$ωx+\frac{π}{6}$），利用周期公式可求ω，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{p}$=（a，2b-c），$\overrightarrow{q}$=（cosA，cosC），且$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$，
∴acosC=（2b-c）cosA，
∴由正弦定理可得：sinAcosC=（2sinB-sinC）cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，可得：sinB=2sinBcosA，
∵sinB≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由（1）可得：f（x）=cos（ωx-$\frac{π}{6}$）+sinωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx+$\frac{3}{2}$sinωx=$\sqrt{3}$sin（$ωx+\frac{π}{6}$），
∴$ω=\frac{2π}{π}$=2，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
即f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数周期公式，正弦函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力，数形结合能力，考查了转化思想，属于中档题．