Question

【题目】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.

(1)求角B的大小；

(2)若2bcos A＝(ccosA＋acosC)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

试题分析：利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出的值，由为三角形内角，利用特殊角的三角函数值就可求出的大小；

利用正弦定理化简已知等式，求出的值，由为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出的大小，确定出的大小，设，利用余弦定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出和，即可求出的面积。

解析：(1)由余弦定理，得cosB＝＝＝.

因为B是三角形的内角，所以B＝.

(2)由正弦定理，得＝＝，

代入2bcos A＝ (ccosA＋acosC)，

可得2sin BcosA＝ (sin CcosA＋sin AcosC)，

即2sin BcosA＝sin B.

因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，

所以cosA＝，

所以A＝，则C＝π－A－B＝.

设AC＝m(m>0)，则BC＝m，

所以CM＝m.

在△AMC中，由余弦定理，得

AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos，

即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2.

所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝.