Question

已知：f（x）=lg（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若f（x）在（1，+∞）内恒为正，试比较a-b与1的大小．

Answer 1

（1）要使函数有意义，则a^x-b^x＞0，∴(

a

b

)x＞1，
∵

a

b

＞1，∴x＞0，∴f（x）的定义域为（0，+∞）．
（2）设x₂＞x₁＞0，∵a＞1＞b＞0，
∴ax2＞ax1，bx1＞bx2，则-bx2＞-bx1，
∴ax2-bx2＞ax1-bx1＞0，∴

ax2-bx2

ax1-bx1

＞1．
∵函数y=lgx在定义域上是增函数，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（0，+∞）是增函数，
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，即有f（x）＞f（1），
要使f（x）＞0恒成立，必须函数的最小值f（1）≥0，
即lg（a-b）≥0=lg1，则a-b≥1．