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设直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时,△OAB的面积为
12
(O为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)当直线l经过点P(a,0)(a>0)且与x轴不垂直时,若在x轴上存在点C,使得△ABC为正三角形,求a的取值范围.
分析:(1)由条件可得|AB|=2p,O点到AB距离为
p
2
,结合△OAB的面积为
1
2
,即可求得抛物线的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),设C(t,0),直线l的方程为x=my+a(m≠0),代入y2=2x,可得y0=m,从而x0=m2+a,根据△ABC为正三角形,可得MC⊥AB,|MC|=
3
2
|AB|,从而可确定a的取值范围.
解答:解:(1)由条件可得|AB|=2p,O点到AB距离为
p
2

S△OAB=
1
2
×2p×
p
2
=
p2
2

∵△OAB的面积为
1
2
,∴p=1,
∴抛物线的方程为y2=2x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),
又设C(t,0),直线l的方程为x=my+a(m≠0),代入y2=2x得y2-2my-2a=0.
∴△=4(m2+2a),y1+y2=2m,y1y2=-2a.
所以y0=m,从而x0=m2+a.
∵△ABC为正三角形,∴MC⊥AB,|MC|=
3
2
|AB|.
由MC⊥AB,得
y0
x0-t
×
1
m
=-1
,所以t=m2+a+1.
由|MC|=
3
2
|AB|,得
(m2+a-t)2+m2
=
3
2
×
(m2+1)×4(m2+2a)

又∵t=m2+a+1,
∴1+m2=3(m2+1)(m2+2a),
从而a=
1
6
-
m2
2

∵m≠0,∴m2>0,∴0<a<
1
6

∴a的取值范围为(0,
1
6
).
点评:本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,综合性强.
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(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)当直线l经过点P(a,0)(a>0)且与x轴不垂直时,
若在x轴上存在点C,使得△ABC为等边三角形,求a
的取值范围.

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