【题目】设函数, ,已知曲线在点处的切线与直线平行.
(Ⅰ)若方程在内存在唯一的根,求出的值;
(Ⅱ)设函数(表示中的较小值),求的最大值.
【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ) .
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得,求出、的导数和单调区间,最值,由零点存在定理,即可判断存在;(Ⅱ)由(Ⅰ)求得的解析式,通过的最大值,即可得到所求.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,曲线在点处的切线斜率为,所以,
又所以.
设
显然当时, .
又所以存在,使
因为
所以当时, ,
又显然当时, ,
所以当时, 单调递增.
所以时,方程在内存在唯一的根.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,方程在内存在唯一的根,
且时, , 时, ,
所以.
当时,若
若由
可知故
当时,由
可得时, 单调递增;
时, 单调递减.
可知
且.综上可得:函数的最大值为.
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【题目】某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵化8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义解答下列问题:
(1)这种鱼卵的孵化率(孵化概率)是多少?
(2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗?
(3)要孵化5 000尾鱼苗,大概需要多少个鱼卵?(精确到百位)
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【题目】(数学文卷·2017届江西省玉山一中高三上学期第二次月考第16题)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆O的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”.给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;②函数可以是某个圆的“优美函数”;③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形.其中正确的命题是__(写出所有正确命题的序号)
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
(1)根据已有数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性,其中2位是女教师,现从这5名女性中随机抽取3人,求至多有1位教师的概率.
附: , .
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【题目】图1,平行四边形中, , ,现将沿折起,得到三棱锥(如图2),且,点为侧棱的中点.
(1)求证: 平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)在的角平分线上是否存在点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】某学校要用甲、乙、丙三辆校车把教职工从老校区接到校本部,已知从老校区到校本部有两条公路,校车走公路①时堵车的概率为,校车走公路②时堵车的概率为p.若甲、乙两辆校车走公路①,丙校车由于其他原因走公路②,且三辆校车是否堵车相互之间没有影响.
(1)若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为,求走公路②堵车的概率;
(2)在(1)的条件下,求三辆校车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在多面体中, 平面, 平面,且是边长为4的等边三角形, , 与平面所成角的余弦值为, 是线段上一点.
(Ⅰ)若是线段的中点,证明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的正弦值.
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