Question

已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则∠A的值为

 

，△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
由条件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积

1

2

bc•sinA

解答： 解：由已知可得等式：（a+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
利用正弦定理化简得：（a+b）（a-b）=c（c-b），即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
则A=

π

3

；
在△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，即 b²+c²-bc=4．
再利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，它的面积为

1

2

bc•sinA=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

，
故答案为：

π

3

，

3

．

点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．