Question

某高校在2010年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组[160，165），第二组[165，170），第三组[170，175），第四组[175，180），第五组[180，185）得到的频率分布直方图如图所示，
（1）求第三、四、五组的频率；
（2）为了以选拔出最优秀的学生，学校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第三、四、五组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试．
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第四组至少有一名学生被甲考官面试的概率．

Answer 1

分析：（1）利用频率分布直方图中的频率=纵坐标×组据，求出第三、四、五组的频率；
（2）利用频数=频率×样本容量求出各组的人数；求出各组人数与样本容量的比，再乘以6求出各组抽出的人数．
（3）通过列举法得到从6名学生中抽2名所有的结果及第四组至少有一名学生被甲考官面试的结果；利用古典概型概率公式求出概率．

解答：解：（1）由题设可知，第三组的频率为0.06×5=0.3
第四组的频率为0.04×5=0.2
第五组的频率为0.02×5=0．
（2）第三组的人数为0.3×100=30
第四组的人数为0.2×100=20
第五组的人数为0.1×100=10
因为第三、四、五组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽到的人数分别为：第三组

30

60

×6=3
第四组

20

60

×6=2
第五组

10

60

×6=1
所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人．
（3）设第三组的3位同学为A₁，A₂，A₃，第四组的2位同学为B₁，B₂，
第五组的1位同学为C₁
则从6位同学中抽2位同学有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共15种可能
其中第四组的2位同学B₁，B₂中至少1位同学入选有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂）（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9种可能
所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为

9

15

=

3

5

点评：本题考查频率分布直方图中频率的公式是：频率=纵坐标×组据； 频数的公式：频数=频率×样本容量
考查分层抽样及古典概型的概率公式．