Question

设命题p：函数f(x)=lg(ax2-x+

a

16

)的定义域为R；命题q：3^x-9^x＜a对一切的实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用p且q为假．确定实数k的取值范围．

解答：解：要使函数f(x)=1g(ax2-x+

a

16

)的定义域为R，则不等式ax²-x+

a

16

＞0对于一切x∈R恒成立，
若a=0，则不等式等价为-x＞0，解得x＜0，不满足恒成立．
若a≠0，则满足条件

a＞0 △=1-4a× a 16 ＜0

，
即

a＞0 1- a2 4 ＜0

，解得

a＞0 a2＞4

，即a＞2，所以p：a＞2．
∵g（x）=3^x-9^x=-（3x-

1

2

） 2+

1

4

≤

1

4

，
∴要使3^x-9^x＜a对一切的实数x恒成立，
则a＞

1

4

，即q：a＞

1

4

．
要使p且q为假，则p，q至少有一个为假命题．
当p，q都为真命题时，满足

a＞2 a＞ 1 4

，即a＞2，
∴p，q至少有一个为假命题时有a≤2，
即实数a的取值范围是a≤2．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．将p且q为假，转化为先求p且q为真是解决本题的一个技巧．