Question

2．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁；
（3）在（2）的条件下，若AB=$\sqrt{2}$，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得BC₁，由勾股定理得C₁B⊥BC，由线面垂直得AB⊥BC₁，由此能证明BC₁⊥面ABC．
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出E是CC₁中点，使得EA⊥EB₁．
（3）求出面AEB₁的法向量和面A₁B₁E的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB₁-A₁的平面角的正弦值．

解答 证明：（1）∵BC=1    BB₁=2，∠BCC₁=60°，
∴BC₁²=1+4-2•1•2cos60°=3，∴BC₁=$\sqrt{3}$，
∴BC²+BC₁²=CC₁²，∴C₁B⊥BC，
∵AB⊥面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁，
BC₁⊥面ABC．
（2）∵AB⊥面BCC₁B₁
BC₁⊥BC建立如图所示空间直角坐标系
∴B（0，0，0），C（1，0，0），C₁（0，$\sqrt{3}$，0），B₁（-1，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，z），
设$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C}_{1}}$，则E（1-λ，$\sqrt{3}λ$，0），
要使得EA⊥EB₁，则$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=0$，即（-1+λ）（2+）+（-$\sqrt{3}$λ）（$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}λ$）+z•0=0
解得λ=1（舍）或$λ=\frac{1}{2}$，∴E是CC₁中点．
（3）设面AEB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由（2）得E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．
$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-1，\sqrt{3}，-\sqrt{2}），\overrightarrow{E{B}_{1}}=（-\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}=（0，0，\sqrt{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{E{B}_{1}}=-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}=（1，\sqrt{3}，\sqrt{2}）$．
同理求得面A₁B₁E的法向量$\overrightarrow{m}=（1，\sqrt{3}，0）$
设二面角A-EB₁-A₁的平面角为α，
则cosα=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$|=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角A-EB₁-A₁的平面角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．