Question

设a_n是（1+x）ⁿ的展开式中x²项的系数（n=2，3，4，…），则极限

lim

n→∞

(

1

a2

+…+

1

an

)=

2

．

Answer 1

分析：二项展开式的通项T_r+1=C_n^rx^r，令r=2可得，a_n=C_n²=

n(n-1)

2

，利用裂项可求和，进而代入可求数列的极限

解答：解：二项展开式的通项T_r+1=C_n^rx^r
令r=2可得，a_n=C_n²=

n(n-1)

2

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n-1

-

1

n

)
=2(1-

1

n

)

lim

n→∞

(

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

(2-

2

n

)=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了数列极限的求解，解题的关键是要根据二项展开式的通项找出制定的项，还有灵活利用裂项求和，属于公式的基本运用．