Question

已知函数其中c＞0．那么f（x）的零点是    ；若f（x）的值域是，则c的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f（x）的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[-2，0）时，函数f（x）的值域恰好是，所以当0≤x≤c时，f（x）=的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．
解答：解：当x≥0时，令=0，得x=0；当x＜0时，令x²+x=0，得x=-1（舍零）
∴f（x）的零点是-1和0
∵函数y=x²+x在区间[-2，-）上是减函数，在区间（-，0）上是增函数
∴当x∈[-2，0）时，函数f（x）最小值为f（-）=-，最大值是f（-2）=2
∵当0≤x≤c时，f（x）=是增函数且值域为[0，]
∴当f（x）的值域是，≤2，即0＜c≤4
故答案为：-1和0      0＜c≤4
点评：本题给出特殊分段函数，求函数的零点并在已知值域的情况下求参数的取值范围，着重考查了函数零点的、函数的值域和二次函数的单调性和最值等知识，属于基础题．