Question

5．若数列{c_n}的前n项和为T_n，且满足c_n+2T_nT_n-1=0（n≥2），c₁=$\frac{1}{2}$，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把c_n=T_n-T_n-1（n≥2）代入c_n+2T_nT_n-1=0，变形可得$\frac{1}{{T}_{n}}-\frac{1}{{T}_{n-1}}=2$（n≥2）．由等差数列的通项公式求得T_n，代入原递推式求得数列{c_n}的通项公式．

解答 解：由c_n+2T_nT_n-1=0（n≥2），得
T_n-T_n-1+2T_nT_n-1=0（n≥2），
∴T_n-1-T_n=2T_nT_n-1，
两边同时除以T_nT_n-1，得$\frac{1}{{T}_{n}}-\frac{1}{{T}_{n-1}}=2$（n≥2）．
又$\frac{1}{{T}_{1}}=\frac{1}{{c}_{1}}=2$．
∴数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}是以2为首项，以2为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{T}_{n}}=2+2（n-1）=2n$，
则${T}_{n}=\frac{1}{2n}$．
∴c_n=-2T_nT_n-1=$-2×\frac{1}{4n（n-1）}=-\frac{1}{2n（n-1）}$（n≥2），
c₁=$\frac{1}{2}$不适合上式，
∴${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{2n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，考查等差数列通项公式的求法，是中档题．