Question

已知以向量

v

=(1，

1

2

)为方向向量的直线l过点(0，

5

4

)，抛物线C：y²=2px（p＞0）的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A、B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若

OA

•

OB

+p2=0（O为原点，A、B异于原点），试求点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求直线l：y=

1

2

x+

5

4

，再根据抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，可得方程，从而可求抛物线C的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），根据

OA

•

OB

+p2=0，用坐标表示，结合抛物线方程，即可求得点N的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得直线l：y=

1

2

x+

5

4

     ①
过原点垂直于l的直线方程为 y=-2x    ②
解①②得x=-

1

2

，即两直线的交点的横坐标为x=-

1

2

．
∵抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上．
∴-

p

2

=-

1

2

×2，p=2
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x，y），
由

OA

•

OB

+p2=0，得x₁x₂+y₁y₂+4=0．
又y12=4x1，y22=4x2．
代入上式

y 2 1 y 2 2

16

+y₁y₂+4=0．
解得y₁y₂=-8     
又直线ON：y=

y2

x2

x，即y=

4

y2

x      
∵y=y₁，∴y₁y₂=4x
∵y₁y₂=-8 
∴x=-2（y≠0）．
∴点N的轨迹方程为x=-2（y≠0）．

点评：本题重点考查轨迹方程，考查抛物线的方程，考查向量知识，解题的关键是将向量关系转化为坐标之间的关系．