Question

7．已知a，b，c均为正数，且a+b+c=3，求证：$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥3．

Answer 1

分析 利用综合法，直接证明不等式即可．

解答 证明：∵$\frac{{b}^{2}}{a}+a≥2b$，$\frac{{c}^{2}}{b}+b≥2c$，$\frac{{a}^{2}}{c}+c≥2a$．
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$+（a+b+c）≥2（a+b+c），
即$\frac{{b}^{2}}{a}$+$\frac{{c}^{2}}{b}$+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥a+b+c=3，当且仅当a=b=c=1时取等号．（10分）

点评 本题考查不等式的证明，综合法的应用，考查逻辑推理能力．