Question

考察等式：C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r（*）其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的件产品中恰有件次品}，则，k=0，1，…，r．显然A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立；②等式（*）不成立③证明正确；④证明不正确
试写出所有正确判断的序号________．

Answer 1

①③
分析：构造概率模型，从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根据A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），即可判断．
解答：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有种情况，又从中随机取出r件产品，共有种情况，k=0，1，…，r，故其概率为，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③
点评：本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，题目新颖．