思路分析:建立适当的坐标系,利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积,转化为证明两向量的夹角相等.
解析:如题图,建立直角坐标系,设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),于是=(-2,1),=(-2,2),设F(x,y),由⊥,得·=0,即(x,y)·(-2,1)=0,
∴-2x+y=0.①
又F点在AC上,则∥.
而=(-x,2-y),因此2(-x)-(-2)(2-y)=0,
即x+y=2.②
由①②式解得x=,y=,
∴F(,),=(,),=(0,1)·=,
又·=||||cosθ=cosθ,
∴cosθ=,即cos∠FDC=,
又cos∠ADB=,∴cos∠ADB=cos∠FDC,
故∠ADB=∠FDC.
温馨提示
在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F满足的关系除了BF⊥AD,还有F点在AC上.点在直线上问题往往转化成两向量共线,利用两向量共线的条件求解.
科目:高中数学 来源:广东省梅县东山中学2011-2012学年高二上学期期中考试数学理科试题 题型:013
如下图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A、B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数有
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一个几何体的三视图如下图所示,其中主视图与左视图是腰长为6的等腰直角三角形,俯视图是正方形。
(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;
(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值.
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