Question

等差数列{a_n}的首项为a₁，公差d=-1，前n项和为S_n，其中a₁∈{-1，1，2}
（I ）若存在n∈N，使S_n=-5成立，求a₁的值；．
（II）是否存在a₁，使S_n＜a_n对任意大于1的正整数n均成立？若存在，求出a₁的值；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（I ）由条件得Sn=-

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n2+(a1+

1

2

)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，由于n∈N，所以其判别式必定是完全平方数，又a₁∈{-1，1，2}，一一代入验证即可．
（II）由S_n＜a_n，代入得-

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2

n2+(a1+

1

2

)n＜a1+1-n，化简即可得．

解答：解：（I ）由条件得Sn=-

1

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n2+(a1+

1

2

)n=-5，整理得：n²-（2a₁+1）n-10=0，
∴△=（2a₁+1）²+40是完全平方数，∵a₁∈{-1，1，2}，
∴a₁=1，此时n=5
（II）由S_n＜a_n，代入得-

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2

n2+(a1+

1

2

)n＜a1+1-n，∴(n-1)a1＜

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2

(n-1)(n-2)，∵n＞1，∴a1＜

1

2

(n-2)，∴a₁＜0
故存在a₁=-1，使S_n＜a_n对任意大于1的正整数n均成立．

点评：数列与不等式恒成立问题结合起来，能有效考查学生的逻辑思维能力和灵活应用知识分析解决问题的能力，体现了转化的思想和分类讨论的思想．