Question

6．在公差不为零的等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，已知a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，等比数列{b_n}的公比为q，由a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，可得1+d=q，1+5d=q²，联立解出即可得出．
（2）由c_n=a_nb_n=（3n-2）4^n-1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，等比数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=b₁=1，a₂=b₂，a₆=b₃，∴1+d=q，1+5d=q²，联立解得$\left\{\begin{array}{l}{q=4}\\{d=3}\end{array}\right.$．
∴a_n=1+3（n-1）=3n-2，b_n=4^n-1．
（2）由c_n=a_nb_n=（3n-2）4^n-1．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=1+4×4+7×4²+…+（3n-2）4^n-1．
4S_n=4+4×4²+7×4³…+（3n-5）4^n-1+（3n-2）•4ⁿ．
∴-3S_n=1+3×（4+4²+…+4^n-1）-（3n-2）•4ⁿ=1+3×$\frac{4（{4}^{n-1}-1）}{4-1}$-（3n-2）•4ⁿ=（3-3n）•4ⁿ-3，
∴S_n=（n-1）•4ⁿ+1．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．