Question

14．已知圆C₁：（x+3）²+（y+4）²=4
（1）求与圆C₁关于原点对称的圆C₂的方程；
（2）求圆C₁与圆C₂的外公切线的方程．

Answer 1

分析 （1）由对称性可知圆C₂的圆心为（3，4），半径为2，可得圆C₂的方程；
（2）可判圆C₁与圆C₂的位置关系为外离，两圆的外公切线平行且斜率为k=$\frac{4}{3}$，到点（3，4）距离为2，设直线方程为4x+3y+t=0，由距离公式可得t的方程，解方程可得．

解答 解：（1）由题意可得圆C₁圆心为（-3，-4），半径为2，
则由对称性可知圆C₂的圆心为（3，4），半径为2，
∴圆C₂的方程为：（x-3）²+（y-4）²=4；
（2）由距离公式可得|C₁C₂|$\sqrt{（-3-3）^{2}+（-4-4）^{2}}$=10＞2+2，
∴圆C₁与圆C₂的位置关系为外离，公切线有4条，两条外公切线，两条内公切线，
由题意可得两圆的外公切线平行且斜率为k=$\frac{4}{3}$，到点（3，4）距离为2，
故可设直线方程为4x+3y+t=0，由距离公式可得$\frac{|4×3+3×4+t|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=2，
解方程可得t=-14或t=-34，
∴圆C₁与圆C₂的外公切线的方程为：4x+3y-14=0或4x+3y-34=0．

点评 本题考查两圆的位置关系和公切线的求解，属中档题．