Question

设点P在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上，直线l的方程为x=-

a2

c

，且点F的坐标为（-c，0），作PQ⊥l于点Q，若P，F，Q三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e=

 

．

Answer 1

分析：由题意可得 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，求出x₀=

2 a2c-a3

ac- 2 c2

，|y₀|=-c+

a2

c

=

b2

c

，把P（x₀，y₀ ） 代入椭圆的方程，求出

c

a

 的值．

解答：解：设P（x₀，y₀ ），由题意可得 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，
∴

2

（a+

c

a

x₀ ）=x₀+

a2

c

，解得 x₀=

2 a2c-a3

ac- 2 c2

，∴|y₀|=-c+

a2

c

=

b2

c

，
把P（x₀，y₀ ） 代入椭圆的方程可得 

( 2 a2c-a3 ac- 2 c2 )

a2

2+

( b2 c )2

b2

=1，解得

c2

a2

=

1

2

，
∴e=

c

a

=

2

2

，
故答案为

2

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及简单性质的应用，得到 QF=FP=a+

c

a

x₀，且 PQ=

2

 PF，是解题的关键．