Question

已知平面区域（含边界，上半部分为半圆，下半部分为矩形）如图，动点A（x，y）在该平面区域内，已知A（-3，0），C（-1，-1）．
（1）求x+y的最大值和最小值；
（2）求

y

x-1

的取值范围；
（3）求x²+y²-2x-2y+2的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由图象分析，（1）x+y可转化为截距；（2）

y

x-1

表示斜率（3）x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域内的动点P（x，y）与定点N（1，1）距离的平方，结合图形易得其最值．

解答：解：由题意结合图象
（1）设x+y=b，故y=-x+b，字母b为斜率为-1的直线的截距，由图可知：
当直线（黑色）过点B（-3，-1）时，截距最小，即x+y取最小值-3+（-1）=-4，
当直线与半圆相切时，截距最大，即x+y取最大值，
由直线和圆相切可得圆心O′（-2，0）到直线x+y=b的距离

|-2-b|

2

=1，（圆的半径为1），
可解得b=-2+

2

，或b=-2-

2

（由图象可知不和题意，故舍去），
故求x+y的最大值和最小值分别为-2+

2

，-4；
（2）设k=

y

x-1

，则k表示可行域内动点P（x，y）与定点M（1，0）连线的斜率，…（5分）
由直线kx-y-k=0得，

|3k|

k2+1

=1得k=±

2

4

，知k≥-

2

4

，…（6分）
又kMC=

1

2

，…（7分）
故k∈[-

2

4

，

1

2

]；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（8分）
（3）设t=x²+y²-2x-2y+2=（x-1）²+（y-1）²，表示可行域内的动点P（x，y）与定点N（1，1）距离的平方，
由距离公式可得|NO^′|=

(1+2)2+(1-0)2

=

10

，故t_min=(

10

-1)2=11-2

10

，
由图可知点B到N的距离最大，|NB|=

(1+3)2+(1+1)2

=

20

，故t_max=20　　　　　　　　　　…（12分）

点评：本题考查线性规划问题，利用几何意义来求解是解决问题的关键，属中档题．