【题目】已知z是实系数方程的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为,
(1)若在直线上,求证:在圆:上;
(2)给定圆:(m、,),则存在唯一的线段s满足:①若在圆C上,则在线段s上;②若是线段s上一点(非端点),则在圆C上、写出线段s的表达式,并说明理由;
(3)由(2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究,填写表(表中是(1)中圆的对应线段).
线段s与线段的关系 | m、r的取值或表达式 |
s所在直线平行于所在直线 | |
s所在直线平分线段 |
【答案】(1)见解析 (2) , 见解析 (3) 见解析
【解析】
(1)在直线上,求出方程的虚根,代入圆的方程成立,就证明在圆:上;
(2)①求出虚根,虚根在定圆C:(m、,),推出,则存在唯一的线段s满足在线段s上;②是线段s上一点(非端点),实系数方程为,此时,求出方程的根,可推出在圆C上.
(3)由(2)知线段s与圆C之间确定了一种对应关系,直接填写表.
(1)由题意可得,
解方程,得
∴点或,
因为,
∴在圆:上
(2)当,即时,
解得,
∴点或,
由题意可得,
整理后得,
∵,,∴
∴线段s为:,
若是线段s上一点(非端点),
则实系数方程为,
此时,且点
在圆C上
(3)表
线段s与线段的关系 | m、r的取值或表达式 |
s所在直线平行于所在直线 | , |
s所在直线平分线段 | , |
线段s与线段长度相等 |
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【题目】已知正项数列的前n项和为,数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,它的前n项和为,若存在正整数n,使不等式成立,求实数的取值范围.
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【题目】把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为,第二次出现的点数为,试就方程组解答下列各题:
(1)求方程组只有一个解的概率;
(2)求方程组只有正数解的概率.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C的极坐标方程为ρ(1-cos2θ)=8cosθ,直线ρcosθ=1与曲线C相交于M,N两点,直线l过定点P(2,0)且倾斜角为α,l交曲线C于A,B两点.
(1)把曲线C化成直角坐标方程,并求|MN|的值;
(2)若|PA|,|MN|,|PB|成等比数列,求直线l的倾斜角α.
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【题目】如图,平面中两条直线和相交于点O,对于平面上任意一点M,若x,y分别是M到直线和的距离,则称有序非负实数对(x,y)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列三个命题:
①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且只有1个;
②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有2个;
③若pq≠0则“距离坐标”为(p,q)的点有且只有4个.
上述命题中,正确命题的是______.(写出所有正确命题的序号)
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【题目】设常数,已知复数,和,其中均为实数,为虚数单位,且对于任意复数,有,将作为点的坐标,作为点的坐标,通过关系式,可以看作是坐标平面上点的一个变换,它将平面上的点变到这个平面上的点.
(1)分别写出和用表示的关系式;
(2)设,当点在圆上移动时,求证:点经该变换后得到的点落在一个圆上,并求出该圆的方程;
(3)求证:对于任意的常数,总存在曲线,使得当点在上移动时,点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图像,并写出对于正常数,满足条件的曲线的方程.
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【题目】如图,点F为椭圆C:(a>b>0)的左焦点,点A,B分别为椭圆C的右顶点和上顶点,点P(,)在椭圆C上,且满足OP∥AB.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点F的直线l交椭圆C于D,E两点(点D位于x轴上方),直线AD和AE的斜率分别为和,且满足﹣=﹣2,求直线l的方程.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,.
(1)当时,判断曲线与曲线的位置关系;
(2)当曲线上有且只有一点到曲线的距离等于时,求曲线上到曲线距离为的点的坐标.
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