Question

对a，b＞0，a≠b，已知下列不等式成立：
①2ab＜a²+b²；
②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；
④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵；
（Ⅰ）用类比的方法写出

a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）

＜a⁶+b⁶
（Ⅱ）若a，b＞0，a≠b，证明：a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵
（Ⅲ）将上述不等式推广到一般的情形，请写出你所得结论的数学表达式（不证明）

Answer 1

分析：（I）由已知中四个不等式分析不等号两边字母的次数与系数的变化规律，进而可得答案；
（II）若证明：a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵，即证明a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）＞0，分解因式后，根据a，b＞0，a≠b，结合实数的性质可得答案．
（III）根据（I）中归纳的不等式两边字母次数与系数的变化规律，进一步可推广到一般的情形．

解答：解：（Ⅰ）由①2ab＜a²+b²；
②ab²+a²b＜a³+b³；
③ab³+a³b＜a⁴+b⁴；
④ab⁴+a⁴b＜a⁵+b⁵；
…
归纳可得：
a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）…（3分）
（Ⅱ）∵a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）=a³（a²-b²）+b³（b²-a²）
=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²） …（7分）
而a，b＞0，a≠b
∴a+b＞0，（a-b）²＞0，a²+ab+b²＞0
∴a⁵+b⁵-（a²b³+a³b²）＞0
即a²b³+a³b²＜a⁵+b⁵…（10分）
（Ⅲ）一般情形：a^mbⁿ+aⁿb^m＜a^m+n+b^m+n（a，b＞0，a≠b，m，n∈N₊）…（12分）
故答案为：a⁵b+ab⁵＜a⁶+b⁶（或a⁴b²+a²b⁴＜a⁶+b⁶或2a³b³＜a⁶+b⁶）

点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知中不等式，分析不等号两边字母的次数及系数的变化规律是解答的关键．