Question

在研究关于曲线C：

x4

16

-y²=1的性质过程中，有同学得到了如下结论①曲线C关于原点、x，y轴对称 ②曲线C的渐近线为y=±

x

2

 ③曲线C的两个顶点分别为（-2，0），（2，0）④曲线C上的点到原点的最近距离为2．上述判断正确的编号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：类比双曲线的性质，分别对命题进行判断即可．

解答： 解：①∵

(-x)4

16

-(-y)2=

x4

16

-y²=1，∴关于原点对称的点也在曲线上，
∴曲线C关于原点、x，y轴对称，正确；
②代入方程得到交点，故y=±

x

2

非渐近线，故曲线C的渐近线为y=±

x

2

错误．
 ③当y=0时，由

x4

16

-y²=1得

x4

16

=1，解得x=±2，
即曲线C的两个顶点分别为（-2，0），（2，0），正确，
④设曲线上的点的坐标为P（x，y），则|OP|²=x²+y²=x²+

x4

16

-1=

1

16

（x⁴+16x²）-1=

1

16

[（x²+8）²）+
由

x4

16

-y²=1得

x4

16

-1=y²≥0，解得x≥2或x≤2，
即曲线C上的点到原点的最近距离为2．故④正确，
故判断正确的编号为①③④，
故答案为：①③④

点评：本题主要考查与双曲线有关的命题的真假判断，类比双曲线的性质是解决本题的关键．考查学生的推理能力．