Question

1．求下列各值．
（1）若（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中第9项与第10项的二项式系数相等，求x的一次项系数；
（2）已知（2x-1）⁷=a₀x⁷+a₁x⁶+a₂x⁵+…+a₇，求a₁+a₃+a₅+a₇的值．

Answer 1

分析 （1）根据第9项与第10项的二项式系数相等，建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数．
（2）可分别令x=1与x=-1，得到的二式联立，即可求得a₁+a₃+a₅+a₇的值．

解答 解：（1）∵C_n⁸=C_n⁹，
∴n=17，
∴T_r+1=C₁₇^rx${\;}^{（\frac{17-r}{2}-\frac{r}{3}）}$2^r，
令$\frac{17-r}{2}$-$\frac{r}{3}$=1，
解得r=9，
∴T₁₀=C₁₇⁹x2⁹，
∴x的一次项系数C₁₇⁹•2⁹；
（2）令f（x）=（2x-1）⁷，
∴f（-1）=-a₀+a₁-a₂+…+a₇，
f（1）=a₀+a₁+a₂+…+a₇，
∴a₁+a₃+a₅+a₇=$\frac{f（1）+f（-1）}{2}$=$\frac{{1}^{7}+（-3）^{7}}{2}$=-1093．

点评 本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，赋值法的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题