Question

已知奇函数f（x）的定义域为[-1，1]，当x∈[-1，0）时，f（x）=-(

1

2

)x．
（1）求函数f（x）在[0，1]上的值域；
（2）若x∈（0，1]，

1

4

f²（x）-

λ

2

f（x）+1的最小值为-2，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．
（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．

解答：解：（1）设x∈（0，1]，则-x∈[-1，0）时，所以f（-x）=-(

1

2

)-x=-2^x．
又因为f（x）为奇函数，所以有f（-x）=-f（x），
所以当x∈（0，1]时，f（x）=-f（-x）=2^x，所以f（x）∈（1，2]，
又f（0）=0．
所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．
（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，
所以

1

2

f（x）∈（

1

2

，1]．
令t=

1

2

f（x），则

1

2

＜t≤1，
g（t）=

1

4

f²（x）-

λ

2

f（x）+1=t²-λt+1=(t-

λ

2

)2+1-

λ2

4

，
①当

λ

2

≤

1

2

，即λ≤1时，g（t）＞g（

1

2

），无最小值，
②当

1

2

＜

λ

2

≤1，即1＜λ≤2时，g（t）_min=g（

λ

2

）=1-

λ2

4

=-2，
解得λ=±2

3

 （舍去）．
③当

λ

2

＞1，即λ＞2时，g（t）_min=g（1）=-2，解得λ=4，
综上所述，λ=4．

点评：本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．