Question

19．已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=$\frac{1-g（x）}{m+2g（x）}$是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意x∈[-5，-1]都有f（1-x）+f（1-2x）＞0成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（3）=8，利用待定系数法即可求出指数函数g（x）=2^x，从而得到f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$，而根据f（x）在R上为奇函数，便有f（-1）=-f（1），这样即可求出m=2，从而得出$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
（2）容易判断f（x）为减函数，根据减函数的定义，设任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，证明f（x₁）＞f（x₂）便可得出f（x）在R上单调递减；
（3）根据定义在[-5，-1]上的f（x）为奇函数，且单调递减，从而可以得到f（1-x）＞f（2x-1），进一步可得到$\left\{\begin{array}{l}{-5≤1-x≤-1}\\{-5≤1-2x≤-1}\\{1-x＜2x-1}\end{array}\right.$，从而解该不等式组便可得出x的取值范围．

解答 解：（1）设g（x）=a^x，则g（3）=a³=8；
∴a=2；
∴g（x）=2^x；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{m+2•{2}^{x}}$；
f（x）为R上的奇函数；
∴f（-1）=-f（1）；
即$\frac{1-\frac{1}{2}}{m+1}=-\frac{1-2}{m+4}$；
∴m=2；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{2+{2•2}^{x}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
（2）x增大时，2^x增大，∴f（x）减小；
∴f（x）在R上单调递减，证明如下：
设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又$1+{2}^{{x}_{1}}＞0，1+{2}^{{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上单调递减；
（3）根据前面知，f（x）在R上单调递减，且为奇函数；
∴由f（1-x）+f（1-2x）＞0得，f（1-x）＞f（2x-1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5≤1-x≤-1}\\{-5≤1-2x≤-1}\\{1-x＜2x-1}\end{array}\right.$；
∴2≤x≤3；
∴x的取值范围为[2，3]．

点评 考查指数函数的一般形式，待定系数法求函数解析式，奇函数的定义，分离常数法的运用，减函数的定义，以及根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法和过程，根据减函数的定义解不等式．