Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）ex（a为实数）．
（1）当a=4时，求函数y=g（x）在x=0处的切线方程；
（2）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）如果关于x的方程g（x）=2exf（x）在区间[ ，e]上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=4时，g（x）=（﹣x2+4x﹣3）ex，g（0）=﹣3．

g′（x）=（﹣x2+2x+1）ex，故切线的斜率为g′（0）=1，

∴切线方程为：y+3=x﹣0，即y=x﹣3

（2）解：f′（x）=lnx+1，

x
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

①当 时，在区间（t，t+2）上f（x）为增函数，

∴f（x）min=f（t）=tlnt；

②当 时，在区间 上f（x）为减函数，在区间 上f（x）为增函数，

∴

（3）解：由g（x）=2exf（x），可得：2xlnx=﹣x2+ax﹣3， ，

令 ， ．

当x，h（x），h′（x）变化如下：

x		1	（1，e）
h′（x）	﹣	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

∵ ，h（1）=4，h（e）= ， ．

∴关于x的方程g（x）=2exf（x）在区间[ ，e]上有两个不等实根，

则

【解析】（1）把a=4代入函数g（x）的解析式，求出导数，得到g（0）和g′（0），由直线方程的点斜式得切线方程；（2）利用导数求出函数f（x）在[t，t+2]上的单调区间，求出极值和区间端点值，比较大小后得到f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2exf（x），分离变量a，然后构造函数 ，由导数求出其在[ ，e]上的最大值和最小值，则实数a的取值范围可求．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．