Question

在下列区间中，函数f（x）=x³-3x+1的零点所在的区间是（　　）

A．（1，2）

B．（2，3）

C．（3，4）

D．（4，5）

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，得函数在区间（1，+∞）上为增函数，再分别求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）、f（5）的值，并结合零点存在性定理，不难得到本题的答案．

解答：解：∵f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0
可得函数在区间（-∞，-1）和（1，+∞）上为增函数；在区间（-1，1）上是减函数
函数的极大值f（-1）=-1+3+1=3＞0，极小值f（1）=1-3+1=-1＜0，
∴函数在区间（-∞，-1）、（-1，1）、（1，+∞）上各有一个零点
∵f（1）=-1＜0，f（2）=8-6+1=3＞0，f（3）＞0、f（4）＞0且f（5）＞0
∴函数在（1，2）上有一个零点，而在（2，3）、（3，4）、（4，5）上均没有零点
故选：A

点评：本题给出三次多项式函数，求它的一个含有零点的区间，着重考查了利用导数研究函数的单调性和函数零点的定义及其存在性讨论等知识，属于基础题．