Question

P是椭圆上的点，F₁、F₂ 是两个焦点，则|PF₁|•|PF₂|的最大值与最小值之差是    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，设|PF₁|=x，故有|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9，其中．根据 函数y=-x²+6x在（，3）上单调递增，上单调递减，可求y=-x²+6x的最小值与最大值，从而可求|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差．
解答：解：由题意，设|PF₁|=x，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
∴|PF₂|=6-x
∴|PF₁|•|PF₂|=x（6-x）=-x²+6x=-（x-3）²+9
∵椭圆，a=3
∴
∵函数y=-x²+6x在（，3）上单调递增，上单调递减
∴x=时，y=-x²+6x取最小值，
x=3时，y=-x²+6x取最大值为9
∴|PF₁|•|PF₂|的最大值和最小值之差为9-4=5
故答案为：5
点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题．