Question

设F是椭圆

x2

7

+

y2

6

=1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P_i（i=1，2，3，…），使|FP₁|，|FP₂|，|FP₃|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：若这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1| =

7

-1，a21≤|FP21| =

7

+1；若这个等差数列是减数列，则a1≤ |FP1|=

7

+1，a21≥ |FP2|=

7

-1，由此可求出d的取值范围．

解答：解：若这个等差数列是增数列，则a1≥|FP1| =

7

-1，a21≤|FP21| =

7

+1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＜a21-a1=20d≤(

7

+1)-(

7

-1)=2，
解得0＜d≤

1

10

．
若这个等差数列是减数列，则a1≤ |FP1|=

7

+1，a21≥ |FP2|=

7

-1，
∴a₂₁=a₁+20d，∴0＞a21-a1=20d≥(

7

-1) -(

7

+1)=-2，
解得-

1

10

≤d＜0．
∴d的取值范围为[-

1

10

，0)∪(0，

1

10

]．
答案：[-

1

10

，0)∪(0，

1

10

]．

点评：本题以椭圆知识为载体考查数列知识，体现了出题人的智慧．