Question

已知a₁=1，且

2an

anSn-Sn2

=1（n≥2），求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据数列的递推关系，即可得到结论．

解答： 解：当n≥2时，

2an

anSn-Sn2

=1，即2a_n=a_nS_n-S_n²，
∵此时a_n=S_n-S_n-1．
∴2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）S_n-S_n²=-S_n-1S_n，
即S_n-S_n-1=-

1

2

S_n-1S_n，
则

Sn-Sn-1

SnSn-1

=

1

Sn-1

-

1

Sn

=-

1

2

，
则

1

Sn

-

1

Sn-1

=

1

2

，
即数列{

1

Sn

}是公比q=

1

2

的等比数列，首项为

1

Sn

=

1

a1

=1，
则

1

Sn

=1•(

1

2

)n-1，
则S_n=2^n-1，
则当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1-2^n-2=2^n-2，
∵a₁=1，
∴a_n=

1， n=1 2n-2， n≥2

．

点评：本题主要考查数列的通项公式，利用数列的递推关系结合数列的通项公式和前n项公式的关系是解决本题的关键．