Question

如图，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求点P到CD的距离；
（2）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（3）求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

分析：方法一：
（1）借助于三垂线定理先照出或作出垂线段，由已知，PA⊥平面ABCD，考虑是否AC⊥CD．可以证出AC⊥CD，所以P到CD的距离为PC．
（2）要证平面PAC⊥平面PCD；可通过证明CD⊥平面PAC而证得．
（3）延长DC交AB的延长线于G，连结PG．易证DA⊥平面PAB，
过A作AH⊥PG，垂足为H，连结DH，得到∠AHD为所求二面角的平面角．
方法二
（1）以A为原点建立空间直角坐标系，表示出相关点的坐标，通过

PC

•

CD

=-1+1=0得出PC⊥CD
即P到CD的距离为|

PC

|．
（2）要证平面PAC⊥平面PCD；可通过证明CD⊥平面PAC而证得．
（3）分别求得平面PAB与平面PCD的一个法向量，通过两法向量夹角求出平面PAB与平面PCD所成二面角的大小

解答：解：（方法一）
（1）、取AD的中点F，连结CF．
易证四边形ABCF是正方形，
∴CF=AB=1又∵AD=2
∴CF=

1

2

AD∴∠ACD=90°
即AC⊥CD，∵PA⊥平面ABCD，∴PC⊥CD，
∴P到CD的距离为PC，PC=

3

．
（2）∵AC⊥CD，PC⊥CD且AC∩PC=C，
∴CD⊥平面PAC．
又∵CD⊆平面PCD，
∴平面PAC⊥平面PCD．
（3）延长DC交AB的延长线于G，连结PG．
∴平面PAB∩平面PCD=PG，
易证DA⊥平面PAB．
过A作AH⊥PG，垂足为H，连结DH，
得到∠AHD为所求二面角的平面角．AH=

2

5

5

，tan∠AHD=

AD

AH

=

5

，
∴∠AHD=arctan

5

．
∴平面PAB与平面PCD所成二面角为arctan

5

．
（方法二）
（1）建立如图所示的空间直角坐标系
得到D（0，2，0），P（0，0，1），B（1，0，0），C（1，1，0）

PC

=(1，1，-1)，

CD

=(-1，1，0)．
∴

PC

•

CD

=-1+1=0，∴PC⊥CD．
即P到CD的距离为|

PC

|，
∴|

PC

|=

3

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵PC⊥CD，PC∩PA=P，∴CD⊥平面PAC．
又CD⊆平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD．
（3）平面PAB的一个法向量为

AD

=(0，2，0)．
设

n

=(c，a，b)为平面PCD的法向量，则

n

•

PC

=0，

n

•

CD

=0．
得到

c+a-b=0 -c+a=0

，解得

a=c b=2c

．
不妨设c=1，∴

n

=(1，1，2)cos＜

AD

，

n

＞=

AD • n

| AD |•| n |

=

2

2× 6

=

6

6

．
∴平面PAB与平面PCD所成二面角的大小为arccos

6

6

．

点评：本题考查空间直线、平面位置关系的判断，二面角大小求解，考查空间想象能力、推理论证、计算、转化能力．利用向量这一工具，解决空间几何体问题，能够降低思维难度．