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设椭圆M(ab>0)的离心率为,长轴长为,设过右焦点F

斜角为的直线交椭圆MAB两点。

       (Ⅰ)求椭圆M的方程;

(2)设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆MCD,求|AB| + |CD|的最小

值。

 

【答案】

,

【解析】

解:(Ⅰ)所求椭圆M的方程为…3分

       (Ⅱ)当,设直线AB的斜率为k = tan,焦点F ( 3 , 0 ),则直线AB的方程为 y = k ( x – 3 )         有( 1 + 2k2 )x2 – 12k2x + 18( k2 – 1 ) = 0

              设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 )             有x1 + x2 =, x1x2 =

              |AB| =           

又因为k = tan=代入**式得 |AB| =

              当=时,直线AB的方程为x = 3,此时|AB| =

              而当=时,|AB| ==               |AB| =

              同理可得       |CD| ==

              有|AB| + |CD| =+=

              因为sin2∈[0,1],所以  当且仅当sin2=1时,|AB|+|CD|有最小值是

 

 

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